Question

已知函数f(x)=cosx-2sin2(

x

2

-

π

6

)
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且A=

π

6

，a=

7

2

-f(2A)，sinB=

3

sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

3

sin（x+

π

3

）-1，从而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）依题意，可求得a=3，利用正弦定理知sinB=

3

sinC⇒b=

3

c，再利用余弦定理求得c与b，从而可求得△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx-[1-cos（x-

π

3

）]
=cosx+cos（x-

π

3

）-1
=cosx+

1

2

cosx+

3

2

sinx-1
=

3

（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-1
=

3

sin（x+

π

3

）-1，
∴f（x）的最大值为

3

-1；
（Ⅱ）∵A=

π

6

，f（x）=

3

sin（x+

π

3

）-1，
∴a=

7

2

-f（2A）=

7

2

-[

3

sin（2×

π

6

+

π

3

）-1]=

7

2

-（

3

2

-1）=3，
又sinB=

3

sinC，
∴由正弦定理得：b=

3

c，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即9=3c²+c²-2

3

c²×

3

2

，
解得c=3，
∴b=3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3

3

×3×

1

2

=

9 3

4

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变应用，突出考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查转化与运算能力，属于中档题．