题目内容
20．等比数列{an}满足a1+2a2=1，a${\;}_{3}^{2}$=a5-a6．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an．求数列的前n项和．
分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=-1-2-…-n=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}$n．利用12+22+…+n2=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$及其等差数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1+2a2=1，a${\;}_{3}^{2}$=a5-a6．
∴a1（1+2q）=1，${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{4}-{a}_{1}{q}^{5}$，
联立解得：a1=q=$\frac{1}{2}$．
∴an=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}$n．
∴数列的前n项和=$-\frac{1}{2}$（12+22+…+n2）-$\frac{1}{2}$（1+2+3+…+n）
=$-\frac{1}{2}$×$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$
=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．
点评 本题考查了利用12+22+…+n2=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$求和、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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