Question

10．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）△ABD是等边三角形，由△ABC≌△ADC可得AC平分∠BAD，故AC⊥BD，由AA₁⊥平面ABCD得AA₁⊥BD，于是BD⊥平面A₁AC，所以平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）设AC，BD交于点O，过C作平面A₁BD的垂线CH，则H必在直线A₁O上，设AA₁=h，分别利用勾股定理和三角形相似解出CH，列出方程看h是否有解．

解答 （1）证明：∵AB=BD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，即AC平方∠BAD．
∵AB=BD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AC⊥BD．
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，又AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又BD?平面A₁BD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）设AC∩BD=O，过C作CH⊥A₁O交A₁O的延长线于H，连结BH．
∵平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，平面ACC₁A₁∩平面A₁BD=A₁O，CH⊥A₁O，CH?平面ACC₁A₁，
∴CH⊥平面A₁BD，即∠CBH是直线BC与平面A₁BD所成的角．
设AA₁=h，AB=2，则AO=$\sqrt{3}$，OC=OB=1，BC=$\sqrt{2}$，∴A₁O=$\sqrt{{h}^{2}+3}$．
∵∠A₁AO=∠CHO=90°，∠AOA₁=∠COH，
∴△A₁AO∽△CHO，∴$\frac{CH}{A{A}_{1}}=\frac{CO}{{A}_{1}O}$=$\frac{1}{\sqrt{{h}^{2}+3}}$．
解得CH=$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+3}}$．
∵∠CBH=45°，∠CHB=90°，BC=$\sqrt{2}$，
∴CH=1．
∴$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+3}}$=1，方程无解．
∴直线BC与平面A₁BD所成的角不能为45°．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．