Question

7．已知函数f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinx•cosx．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（2）用五点法在图中作出y=f（x）在闭区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的简图；
（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]根据正弦函数的定义域和值域即可得解．
（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinx•cosx
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
（2）列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

作图：

（3）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．