Question

已知双曲线C的中心在原点，F是C的一个焦点，以F为圆心且与C的渐近线相切的圆的方程是x²+y²-4x+3=0，则C的方程为（　　）

• A、

  x2

  3

  -y²=1
• B、

  y2

  3

  -x²=1
• C、x²-

  y2

  3

  =1
• D、y²-

  x2

  3

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出圆的标准方程，可得F，以及半径r，设出双曲线的方程，求得渐近线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，再由点到直线的距离公式，结合双曲线的a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．

解答： 解：圆的方程x²+y²-4x+3=0即为（x-2）²+y²=1，
∴圆心F（2，0），半径r=1，
则设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则c=2，F到渐近线y=±

b

a

x的距离为1，
即有

|2b|

a2+b2

=1，即a=

3

b，
与c²=4=a²+b²联立，解得a=

3

，b=1．
即有双曲线的方程为

x2

3

-y²=1．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．