Question

8．已知A（-2，t）是角α终边上的一点，且sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（I）求t、cosα、tanα的值；
（Ⅱ）求$\frac{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的定义先求出t的值即可得到结论．
（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式进行化简进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-2，t）是角α终边上的一点，且sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sinα=$\frac{t}{\sqrt{（-2）^{2}+{t}^{2}}}$=$\frac{t}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且t＜0，
平方得$\frac{{t}^{2}}{4+{t}^{2}}$=$\frac{5}{25}$=$\frac{1}{5}$，即5t²=4+t²，即t²=1，则t=-1．
∴A（-2，-1），
则cosα=$\frac{-2}{\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$、tanα=$\frac{-1}{-2}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$\frac{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}$=$\frac{-sinα[-sin（π+α）]}{cos（6π-\frac{π}{2}-α）sin（4π+\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{-sinαsinα}{cos（\frac{π}{2}+α）sin（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{-sinαsinα}{-sinαcosα}$=tanα=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及三角函数的诱导公式的应用，根据三角函数的定义求出参数t的值是解决本题的关键．