Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4．
（1）求|$\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的定义，代入数据，即可得到|$\overrightarrow{b}$|=2；
（2）由$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，两边分别点乘$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$，结合数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，解方程即可得到所求向量的夹角．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°=4|$\overrightarrow{b}$|•（-$\frac{1}{2}$）=-4，
解得|$\overrightarrow{b}$|=2；
（2）由$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{2}$，
且|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，
可得$\overrightarrow{a}$²=x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，即为16=-4x+0，
解得x=-4，
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+y$\overrightarrow{c}$²，即-4•2•2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞+8y=0，
即为y=2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{b}$²+y$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，即为-4=-16+y•2•2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
即有cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞≤π，可得$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，注意运用两边点乘向量，考查运算能力，属于中档题．