Question

14．设a，b，c，d均为正数，且a-c=d-b，证明：
（Ⅰ）若ab＞cd，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（Ⅱ）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；
（Ⅱ）先证若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）²＜（c-d）²，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；再证若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a-b|＜|c-d|，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）由（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a-c=d-b，可得a+b=c+d，
由ab＞cd，可得（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
即为$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（Ⅱ）若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）²＜（c-d）²，
即（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd，
由a+b=c+d，可得ab＞cd，
由（Ⅰ）可得$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，则（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
即有a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a-c=d-b，可得a+b=c+d，
即有ab＞cd，
（a-b）²=（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd=（c-d）²，
可得|a-b|＜|c-d|．
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，考查充要条件的证明，注意从两个方面证明，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．