Question

17．定义在R上的函数f（x），其周期为4，且当x∈[-1，3]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，1]\\ 1-|x-2|，x∈（1，3]\end{array}$，若函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点，则实数k的取值范围是（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根据函数的周期性作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由g（x）=f（x）-kx-k=0
得f（x）=kx+k=k（x+1），
设y=h（x）=k（x+1），则直线h（x）过点（-1，0），
∵函数f（x）的周期是4，
∴作出函数f（x）的图象如图：
①若直线斜率k=0时，不满足条件，
②若k＞0，当直线经过点A（2，1）时，此时直线和函数f（x）有3个不同的交点，此时由3k=1，解得k=$\frac{1}{3}$，
当直线在B处与半圆相切时，直线和函数f（x）有5个不同的交点，
此时圆心（4，0）到直线kx-y+k=0的距离d=$\frac{|4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|5k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，此时若满足条件，则$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$，
③若k＜0，当直线经过点D（-6，1）时，此时直线和函数f（x）有5个不同的交点，此时由-5k=1，解得k=-$\frac{1}{5}$，
当直线在C处与半圆相切时，直线和函数f（x）有3个不同的交点，
此时圆心（-4，0）到直线kx-y+k=0的距离d=$\frac{|-4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|3k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，此时若满足条件，则-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$＜x＜-$\frac{1}{5}$，
综上k∈（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$），
故答案为：（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）

点评 本题主要考查函数零点和方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．