Question

12．已知函数f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R
（1）当a=-4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；
（2）令t=2^x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为t²+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）当a=-4时，令t=2^x，
由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t²-4t+3=（t-2）²-1
当t=2时，y_min=-1；当t=4时，y_max=3．
∴函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）设t=2^x，则t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立
等价于t²+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，
∴a＞-（t+$\frac{3}{t}$）在（1，+∞）上恒成立，
∴a＞[-（t+$\frac{3}{t}$）]_max，
设g（t）=-（t+$\frac{3}{t}$），t＞1，函数g（t）在（1，$\sqrt{3}$）上单调递增，在（$\sqrt{3}$，+∞）上单调递减
∴g（t）_max=g（$\sqrt{3}$）=-2$\sqrt{3}$，
∴a＞-2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．