Question

7．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且csinB=$\sqrt{3}$bcosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=3，sinA=2sinB，求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理转化csinB=$\sqrt{3}$bcosC，求出tanC的值即可得出C的值；
（2）由正弦定理化简sinA=2sinB，再由c和cosC利用余弦定理得到关于a、b方程组，求出a、b的值，即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）△ABC中，csinB=$\sqrt{3}$bcosC，
∴sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由sinA=2sinB及正弦定理得：
a=2b①，
由c=3，C=$\frac{π}{3}$及余弦定理得：
a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=c²=9，
即a²+b²-ab=9②，
联立①②，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了灵活运用正弦、余弦定理化简求值，以及运用三角形的面积公式求值的问题，是综合性题目．