Question

已知斜率为2的直线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦点F，且与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若A是线段BF的中点，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨设A（m，n）（n＞0），则n=2（c+m），A（m，2（c+m）），求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：不妨设A（m，n）（n＞0），由F（-c，0），
则k_AF=2，即为2=

n

m+c

，
即有n=2（c+m），
∴A（m，2（c+m）），
∵A是线段BF的中点，
∴B（2m+c，4（c+m）），
A，B代入双曲线方程可得

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，

(2m+c)2

a2

-

16(m+c)2

b2

=1，
∴m=-

c2+3a2

4

，
代入

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，化简可得

(c2+3a2)2

16a2

-

4• 9b4 16c2

b2

=1，
∴

(c2+3a2)2

16a2

-

9(c2-a2)

4c2

=1，
化简可得c²=45a²，
∴e=

c

a

=3

5

．
故答案为：3

5

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．