Question

设a＞1，函数f（x）=x+

a2

4x

，g（x）=x-lnx，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：全称命题

专题：分类讨论,转化思想,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先求出1≤x≤e时，g（x）的最大值，再求出f（x）在区间[1，e]上的最小值，根据题意，比较这两个最值，求出实数a的取值范围．

解答： 解：当1≤x≤e时，g'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴g（x）是增函数，最大值为g（e）=e-1；
∵f'（x）=1-

a2

4x2

=

4x2-a2

4x2

=

(2x+a)(2x-a)

4x2

，
∴①当1＜a＜2时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最小值为f（1）=1+

a2

4

，
令 1+

a2

4

≥e-1，得2

e-2

≤a＜2；
②当2≤a≤e时，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（a）=

5a

4

，
令

5a

4

≥e-1，解得a≥

4

5

（e-1），取2≤a≤e；
③当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上是减函数，最小值为f（e）=e+

a2

4e

，
令e+

a2

4e

≥=e-1，解得a²＞-e，取a＞e；
综上，实数a的取值范围是[2

e-2

，+∞）．
故答案为：[2

e-2

，+∞）．

点评：本题考查了函数性质的应用问题，也考查了导数的综合应用问题，考查了转化思想、分类讨论思想的应用问题，是难题．