Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足4acosB-bcosC=ccosB
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若ac=12，b=3

2

，求a，c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由sinA不为0求出cosB的值即可；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把ac，b，cosB的值代入求出a²+c²=24，与ac=12联立即可求出a与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式4acosB-bcosC=ccosB，利用正弦定理化简得：4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB，
整理得：4sinAcosB=sin（B+C），即4sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

4

；
（Ⅱ）∵ac=12，b=3

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²=24，
联立a²+c²=24与ac=12，
解得：a=c=2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．