Question

【题目】如图所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面， ，点分别为的中点.

(1)求证： ；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明略；

（2）

【解析】（1）证法1：∵平面， 平面，∴．

又为正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ．………4分

∵，∴．………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

， ，……………8分

设平面DFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．…………………………10分

设平面EFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．……………………………12分

∵．

设二面角的平面角为θ，则．

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，W

则， ， ， ， ，

， ， ．………………………………8分

过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．………………………………………………10分

再过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵与所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分