Question

【题目】(本题满分12分)袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．

(1)求随机变量X的分布列和均值E(X)；

(2)求甲摸到白色球的概率．

Answer 1

【答案】(1)分布列见解析，E(X)＝2.

(2) P(A)＝.

【解析】分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；

（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.

详解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，

所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．

(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P (X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.

随机变量X的分布列为

X	1	2	3	4	5
P

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.

(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：

A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；

A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；

A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．

依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，

所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.