Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量

OA

+

OB

与向量

α

=（-3，1）共线，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  3

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线与椭圆方程联立，用韦达定理，可得A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率．

解答：解：由题意，直线AB的方程为y=x-c，代入椭圆方程，
化简得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2a2c

a2+b2

，x₁x₂=

a2c2-a2b2

a2+b2

，
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），与

α

=（-3，1）共线，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=

3

2

c，
∴

2a2c

a2+b2

=

3

2

c
∴a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6

3

a，
∴离心率e=

c

a

=

6

3

．
故选：B．

点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．