Question

3．△ABC中，C=60°，AB=2，则AC+BC的取值范围为（2，4]．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理，基本不等式可得4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥$\frac{1}{4}$（a+b）²，解得a+b≤4，又利用两边之和大于第三边可得a+b＞2，从而可求AC+BC的取值范围．

解答 解：在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，由题意可得：c=2，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即：4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥$\frac{1}{4}$（a+b）²，
解得：a+b≤4，
又由三角形的性质可得：a+b＞2，
综上，可得：2＜a+b≤4．
所以AC+BC的取值范围为：（2，4]．
故答案为：（2，4]．

点评 本题主要考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于中档题．