题目内容
19．已知公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，S2+S4=19（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=an+1×3an，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （I）设公差d不为0的等差数列{an}，运用等比数列的中项的性质，等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得a1=2，d=1，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得bn=an+1•3an=（n+2）•3n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．
解答 解：（I）公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，
可得a1a7=a32，即为a1（a1+6d）=（a1+2d）2，
化为a1=2d，
由S2+S4=19，可得2a1+d+4a1+6d=19，即为6a1+7d=19，
解得a1=2，d=1，
则an=a1+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=an+1•3an=（n+2）•3n+1，
前n项和Tn=3•32+4•33+…+（n+2）•3n+1，
3Tn=3•33+4•34+…+（n+2）•3n+2，
相减可得，-2Tn=27+（33+34+…+3n+1）-（n+2）•3n+2
=27+$\frac{27（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+2）•3n+2，
化简可得Tn=$\frac{2n+3}{4}$•3n+2-$\frac{27}{4}$．
点评 本题考查等差（比）数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，注意化简整理，属于中档题．
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