Question

在平面直角坐标系xOy中，y轴正半轴上的点列{A_n}与曲线y=

2x

（x＞0）上的点列{B_n}满足|OA_n|=|OB_n|=

1

n

，直线A_nB_n
在x轴上的截距为a_n，点B_n的横坐标为b_n，n∈N^*
（1）证明：a_n＞a_n+1＞4，n∈N^*
（2）证明：存在n₀∈N^*，使得对任意的n＞n₀，都有

b2

b1

+

b3

b2

+…+

bn

bn-1

+

bn+1

bn

＜n-2004．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的应用

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件求得A_n（0，

1

n

），B_n（b_n，

2bn

），解得b_n，确定单调性，由截距式方程，求得a_n，确定单调性，即可得证；
（2）即证

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，由（1）的结论，得到1-

bi+1

bi

＞

1

k+2

．再求和，放缩得大于

1

2

+

1

2

+

1

2

+…，即可说明只要n足够大，即有

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，从而得证．

解答： 证明：（1）A_n（0，

1

n

），B_n（b_n，

2bn

），b_n²+2b_n=

1

n2

，
则b_n=

1+ 1 n2

-1，则0＜b_n＜

1

2n2

，b_n单调递减，
n²b_n=n（

1+n2

-n）=

n

1+n2 +n

=

1

1+ 1+ 1 n2

单调递增，
则0＜n

bn

＜

2

2

，令t_n=

1

n bn

＞

2

，且b_n递减，
由截距式方程

bn

an

+

2bn

1 n

=1（1-2n²b_n=n²b_n²）
则a_n=

bn

1-n 2bn

=

1+n 2bn

n2bn

=（

1

n bn

）²+

2

（

1

n bn

）
=t_n²+

2

t_n=（t_n+

2

2

）²-

1

2

≥（

2

+

2

2

）²-

1

2

=4，
且t_n递减，则a_n递减，即有a_n＞a_n+1＞4；
（2）即证

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，
由于1-

bi+1

bi

=

bi-bi+1

bi

=

1+ 1 k2 - 1+ 1 (k+1)2

1+ 1 k2 -1

=k²（

1

k2

-

1

(k+1)2

），

1+ 1 k2 +1

1+ 1 k2 + 1+ 1 (k+1)2

≥

2k+1

(k+1)2

•

1+ 1 k2 +1

2 1+ 1 k2

＞

2k+1

(k+1)2

×

1

2

＞

1

k+2

．
则

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞

n

i=1

1

i+2

=（

1

3

+

1

4

）+（

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

）+…＞

1

2

+

1

2

+

1

2

+…
只要n足够大，即有

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，
则存在n₀∈N^*，使得对任意的n＞n₀，都有

b2

b1

+

b3

b2

+…+

bn

bn-1

+

bn+1

bn

＜n-2004．

点评：本题考查数列不等式的证明，考查数列的单调性和运用，考查不等式的放缩法证明，考查推理能力，具有一定的综合性和难度，属于难题．