Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜

1

3

，则f（x）＜

x

3

+

2

3

的解集为（　　）

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|＜-1}
• C、{x|x＜-1或x＞1}
• D、{x|x＞1}

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：设g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）-

1

3

，
∵f（x）的导函数f′（x）＜

1

3

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

3

＜0，
则函数g（x）单调递减，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

3

-

2

3

=1-1=0，
则不等式f（x）＜

x

3

+

2

3

，等价为g（x）＜0，
即g（x）＜g（1），
则x＞1，
即f（x）＜

x

3

+

2

3

的解集{x|x＞1}，
故选：D

点评：本题主要考查不等式的求解，构造函数，利用导数和单调性之间的关系判断函数的单调性是解决本题的关键．