Question

（本小题满分14分） 已知函数图象上一点处的切线方程为．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）见解析

（Ⅰ），，．
∴，且．   …………………… 2分
解得．……… 3分
（Ⅱ），令，
则，令，得（舍去）．
在内，当时，， ∴ 是增函数；
当时，，  ∴ 是减函数         ……………… 5分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是……6分
即．…… 8分
（Ⅲ），．
假设结论不成立，则有 …… 9分
①－②，得．∴．…… 10分
由④得，∴ …… 11分
即，即．⑤  
令，（)， … 12分
则＞0．∴在上增函数， ∴，… 13分
∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴．… 14分