Question

15．《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E-BCD中，蟞臑有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 分情况讨论：（1）当点E在PC中点时，证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；
（2）当点E在PA中点时：以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则可求BC，BE，EC三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E-BCD不是蟞臑．
（3）当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），可得四面体E-BCD不是蟞臑．
（4）当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．

解答 证明：（1）当点E在PC中点时：
因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE?平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（2）当点E在PA中点时：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设PD=DC=BC=1，则：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
可求：BC=1，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，
故故四面体E-BCD不是蟞臑．

（3）如下图当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），故四面体E-BCD不是蟞臑．

（4）如下图当点E在PD中点时：

由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑．
故选：B．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．