Question

14．在极坐标系中，曲线C的方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{cos}^2}θ}}$，点$R（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；
（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）由极坐标转化为直角坐标即可；
（2）由参数方程，设出P的坐标，得到矩形的周长，根据三角函数的图象和性质即可求出最值．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}=1$，点R的直角坐标为（2，2），
（2）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α$为参数，α∈[0，2π）），
设$P（cosα，\sqrt{3}sinα）$，如图，依题意可得：
|PQ|=2-cosα，$|{QR}|=2-\sqrt{3}sinα$，
∴矩形周长=$2|{PQ}|+2|{QR}|=4-2cosα+4-2\sqrt{3}sinα=8-4sin（α+\frac{π}{6}）$，
∴当$α=\frac{π}{3}$时，周长的最小值为4，此时，点P的坐标为$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．