Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F，以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点，若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求得圆O的半径，根据图象及平行四边形的性质求得M点坐标，代入椭圆方程，由椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由O与BF相切，根据三角形的面积相等，即$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$ar，则r=$\frac{bc}{a}$，
则圆O的半径为$\frac{bc}{a}$，即丨OC丨=$\frac{bc}{a}$，
四边形FAMN是平行四边形，则M（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{bc}{a}$），
代入圆的方程：$\frac{（a+c）^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1$，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：5e²+2e-3=0，
由0＜e＜1，
解得：e=$\frac{3}{5}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率公式，考查数形结合思想，属于中档题．