Question

已知函数，
（1）若x=1时取得极值，求实数的值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）符合。
（2） ；
（3）.

解析试题分析：（1）∵，∴，得          
当时， ； 当时，。
∴在时取得极小值，故符合。               4分       
（2）当时，对恒成立，在上单调递增，
∴                          
当时，由得，
若，则，∴在上单调递减。
若，则，∴在上单调递增。          
∴在时取得极小值，也是最小值，即。
综上所述，        8分           
（3）∵任意，直线都不是曲线的切线，
∴对恒成立，即的最小值大于，
而的最小值为，∴，故.  12分
考点：利用导数研究函数的单调性、极值，导数的几何意义。
点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。