Question

已知函数，且在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，恒有；
（3）证明：若，，且，则.

Answer 1

（1）.（2）详见解析.

解析试题分析：（1）根据导数的几何意义求方程；（2）构造新函数用导数法求解；
试题解析：（1）∵，∴切线斜率，
∴在处的切线方程为，
即.          （4分）
（2）令，
∵，
∴当时，，时，，∴，
故，即.           （8分）
（3）先求在处的切线方程，由（1）得，
故在处的切线方程为，
即， （10分）
下面证明，
令，
∵
，
∴时，，时，，∴，
∴，      （12分）
∵，∴，
，
∴.        （14分）
考点：导数法求函数的单调性，导数的几何意义，不等式的证明.