Question

已知O为原点，双曲线

x2

a2

-y²=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

  2

• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是A（

m+an

2

，

m+an

2a

），
|OA|=|

m+an

2

|

1+ 1 a2

，P点到OA的距离是：d=

|m-an|

1+a2

∵|OA|•d=1，
∴|

m+an

2

|

1+ 1 a2

•

|m-an|

1+a2

=1，
∵

m2

a2

-n2=1，
∴a=2，∴c=

5

，
∴e=

5

2

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．