Question

5．如图，在直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是原点，始边与x轴非负半轴重合，终边交单位圆于点M（x₁，y₁），将角α的终边按逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$，交单位圆于点M（x₂，y₂）．记f（α）=y₁+y₂．
（I）求函数f（α）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若f（C）=$\sqrt{3}$，c=7，sinA+sinB=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；
（Ⅱ）由f（C）=$\sqrt{3}$，可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜C＜π，解得C=$\frac{π}{3}$，由条件c=7，sinA+sinB=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，结合正弦定理可得a+b=13，由余弦定理可得ab=40，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵由三角函数定义知，y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{3}$），
∴f（α）=y₁+y₂=sinα+sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$），
∵角α为锐角，
∴$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（α+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
则f（α）的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]；
（Ⅱ）∵f（C）=$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，解得：C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$．
∵c=7，sinA+sinB=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，可得：a+b=13，
∴由余弦定理可得：49=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=169-3ab，解得：ab=40，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×40×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．