Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（{x+α}），（{x≤0}）\\ cos（{x-β}），（{x＞0}）\end{array}$是偶函数，则下列结论可能成立的是（　　）

• A． $α=\frac{π}{4}，β=\frac{π}{8}$
• B． $α=\frac{2π}{3}，β=\frac{π}{6}$
• C． $α=\frac{π}{3}，β=\frac{π}{6}$
• D． $α=\frac{5π}{6}，β=\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由偶函数的性质可得sin（x+α）=cos（-x-β），进而利用三角函数的和差公式化简可得sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，分析可得sinα=cosβ，cosα=-sinβ，由三角函数诱导公式分析可得α=β+$\frac{π}{2}$，分析选项即可得答案．

解答 解：根据题意，设x＞0，则-x＜0，
则有f（x）=sin（x+α），f（-x）=cos（-x-β），
又由函数f（x）是偶函数，则有sin（x+α）=cos（-x-β），
变形可得：sin（x+α）=cos（x+β），
即sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，
必有：sinα=cosβ，cosα=-sinβ，
分析可得：α=β+$\frac{π}{2}$，
分析选项只有B满足α=β+$\frac{π}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查偶函数的性质，涉及三角函数和差公式的应用，关键是利用偶函数的性质，得到关于α、β的三角恒等式．