Question

17．若函数f（x）对定义域内的任意x₁，x₂，当f（x₁）=f（x₂）时，总有x₁=x₂，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x²不是单纯函数，下列命题：
①函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x，x≥2\\ x-1，x＜2\end{array}\right.$是单纯函数；
②当a＞-2时，函数$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}$在（0，+∞）上是单纯函数；
③若函数f（x）为其定义域内的单纯函数，x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④若函f（x）数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x₀使其导数f'（x₀）=0．
其中正确的命题为①③．（填上所有正确的命题序号）

Answer 1

分析 利用单纯函数的定义，进行判断，即可得出结论．

解答 解：由单纯函数的定义可知单纯函数f（x）的自变量和函数值是一一映射，
因此单调函数一定是单纯函数，但单纯函数不一定是单调函数，①③正确；
当a=0时$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）不是单纯函数，②错误；
函数f（x）=x是单纯函数，但其定义域内不存在x₀使其导函数f'（x₀）=0，④错误．
故答案为①③．

点评 本题考查新定义，函数的性质及应用，简易逻辑，属于中档题．