Question

2．函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对（0，+∞）恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，则f（x）的单调递增区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 由三角函数的性质可知|f（$\frac{π}{6}$）|=1，结合$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，即可求出φ，利用正弦函数的性质列不等式组得出单调增区间．

解答 解：∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对（0，+∞）恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）=1或f（$\frac{π}{6}$）=-1，
∴sin（$\frac{π}{3}+$φ）=1或sin（$\frac{π}{3}+$φ）=-1，
∴$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，即sin（π+φ）＞sin（2π+φ）=sinφ，
∴-sinφ＞sinφ，即sinφ＜0，
∴φ=-$\frac{5π}{6}$+2kπ，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$+2kπ）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
故答案为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，诱导公式，属于中档题．