Question

6．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD₁的中点．
（1）求证：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）若E为CC₁的中点，能否在CP上找一点F，使得EF∥面DPQ？并给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）连结BD，推导出DP⊥AB，AA₁⊥DP，由此能证明DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD中点M，推导出平面ADD₁∥平面MPQ，由此能证明PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）连结EB，推导出BE∥PQ，过B作BF∥AD，交PC于F，能推导出EF∥面DPQ．

解答 证明：（1）连结BD
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴AP=AB=BD，
∵P为AB的中点，∴DP⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABCD，DP?平面ABCD，
∴AA₁⊥DP，
∵AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD中点M，连结PM、QM，
∵P为AB的中点，Q为CD₁的中点，
∴PM∥AD，QM∥DD₁，
∵AD∩DD₁=D，PM∩QM=M，
AD、DD₁?平面ADD₁，PM、QM?平面PQF，
∴平面ADD₁∥平面MPQ，
∵PQ?平面PQF，∴PQ∥平面ADD₁A₁．
解：（3）连结EB，
∵Q为CD₁的中点，E是CC₁的中点，P为AB中点，∴QE$\underset{∥}{=}$PB，
∴四边形PBEQ是平行四边形，∴BE∥PQ，
过B作BF∥AD，交PC于F，
∵BE∥PQ，BF∥AD，BE∩BF=B，PQ∩PD=P，
BE、BF?平面BEF，PQ、PD?平面PDQ，
∴平面BEF∥平面PDQ，
∵EF?平面BEF，∴EF∥面DPQ．

点评 本题考查线面垂直和线面平行的证明，考查满足线面平行的点的确定与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．