Question

17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且$bsinCcosA+asinCcosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}c$．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：$sinBsinCcosA+sinAsinCcosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC$，由sinC≠0及两角和的正弦函数公式整理可得sin C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．结合范围0°＜C＜90°，即可求C的值．
（2）利用三角形面积公式可求ab=6，结合C=60°，由余弦定理即可解得a+b=5．

解答 解：（1）因为：$bsinCcosA+asinCcosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}c$
所以由正弦定理得：$sinBsinCcosA+sinAsinCcosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC$，
由sinC≠0，可得：sinBcosA+sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即：sin（A+B）=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：sin C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又因为△ABC为锐角三角形，
因为：0°＜C＜90°，
所以：C=60°．
（2）因为：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以：ab=6．
又因为C=60°，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcos C，
可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18，
可得a+b=5．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了配方法和转化思想，属于基础题．