Question

已知抛物线，点P（-1，0）是其准线与轴的焦点，过P的直线与抛物线C交于A、B两点.
（1）当线段AB的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积.

Answer 1

（1）.  （2）.

试题分析：（1）首先确定抛物线方程为，将直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得应用中点坐标公式AB中点的横坐标为，进一步求得直线的斜率，从而可得直线方程.应注意直线斜率的存在性.
（2）根据中点坐标公式确定得到，再利用A、B为抛物线上点，得得到方程组求得
，，计算得到△FAB的面积 .注意结合图形分析，通过确定点的坐标，得到三角形的高线长.
试题解析：（1）因为抛物线的准线为，所以，
抛物线方程为            2分
设，直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得   （*）
， 4分
  
所以AB中点的横坐标为，即，所以 6分
（此时（*）式判别式大于零）
所以直线的方程为 7分
（2）因为A为线段PB中点，所以        8分
由A、B为抛物线上点，得，     10分
解得，         11分
当时，；当时，        12分
所以△FAB的面积  14分