题目内容

如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点,点Q是点P关于原点的对称点.

(1)设,证明:
(2)设直线AB的方程是,过两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
(1)详见解析.(2).

试题分析:(1)将直线与抛物线的方程联立,消去y,得到二次方程,应用设而不求,整体代换思想,证明,进而证明;(2)将直线与抛物线的方程联立,解出两点的坐标,求出抛物线在点处的切线斜率,则圆心与点连线的斜率为切线斜率的负倒数,得到方程①,再将两点的坐标代入到圆的方程中,得到方程②,解方程得到圆心坐标及半径,解出圆的方程.
试题解析: (1) 由题意,可设直线的方程为,代入抛物线方程
             ①
两点的坐标分别是,则是方程①的两根,所以
,又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标为,从而



所以
(2) 由的坐标分别为
抛物线在点A处切线的斜率为3.
设圆C的方程是,则
解之得

故,圆C的方程是
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