题目内容
在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|
|=
，
=
．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，
=
+
．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
=t
，证明
=t
．
| OM |
| 5 |
| ON |
2
| ||
| 5 |
| OM |
| OT |
| M1M |
| N1N |
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
| AP |
| AQ |
| SB |
| BQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'），由已知条件推导出x′=x，y′=
y．由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-5），由方程组
，得（5k2+4）x2-50k2x+125k2-20=0．由此能求出不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．
（3）由已知条件得
，由此能证明
=t
．
| ||
| 2 |
（2）设直线l的方程为y=k（x-5），由方程组
|
（3）由已知条件得
|
| SB |
| BQ |
解答：
（1）解：设点T的坐标为（x，y），
点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'），
=
=
(x′，y′)，
∴点N的坐标为(
x′，
y′)，N1的坐标为(
x′，0)，
∴
=(x′，0)，
=(0，
y′)．
由
=
+
，
∴（x，y）=（x′，0）+（0，
y′），∴
，
∴x′=x，y′=
y．
由|
|=
，得x'2+y'2=5，∴x2 +(
y)2=5，
整理，得：
+
=1，
∴曲线C的方程是
+
=1．…（3分）
（2）证明：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，
当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，
∴直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5）．
由方程组
，得（5k2+4）x2-50k2x+125k2-20=0．
依题意△=20（16-80k2）＞0，解得-
＜k＜
．
当-
＜k＜
时，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），
则x1+x2=
，x0=
=
．
∴y0=k(x0-5)=k(
-5)=
．
又|BP|=|BQ|，∴BR⊥l，∴k•kBR=-1，
∴k•kBR=k•
=
=-1，
整理，得20k2=20k2-4，
∵20k2=20k2-4不可能成立，
∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．…（7分）
（3）证明：由题意有S(x1，-y1)，
=(x1-5，y1)，
=(x2-5，y2)，
=t
，
则有方程组
，
由（1）得x1=t（x2-5）+5，（5）
将（2），（5）代入（3），得4[t(x2-5)+5]2+5t2
=20．
整理并将（4）代入得(t2-1)+2(1-t)tx2+5(1-t)2=0，
由题意知t＞1，解得x2 =
．
∵B（1，0），S（x1，y1），
∴
=(1-x1，y1)，
=(x2-1，y2)，
∴
-t
=（1-x1，y1）-t（x2-1，y2）
=（1-x1-t（x2-1），y1-ty2）
=（1-t（x2-5）-5-t（x2-1），0）
=（-4-t（2x2-6），0）
=（-4-t（
-6），0）
=（0，0）．
∴
=t
．…（12分）
点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'），
| ON |
2
| ||
| 5 |
| OM |
2
| ||
| 5 |
∴点N的坐标为(
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∴
| M1M |
| N1N |
2
| ||
| 5 |
由
| OT |
| M1M |
| N1N |
∴（x，y）=（x′，0）+（0，
2
| ||
| 5 |
|
∴x′=x，y′=
| ||
| 2 |
由|
| OM |
| 5 |
| ||
| 2 |
整理，得：
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
∴曲线C的方程是
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
（2）证明：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，
当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，
∴直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5）．
由方程组
|
依题意△=20（16-80k2）＞0，解得-
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
当-
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
则x1+x2=
| 50k2 |
| 5k2+4 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 25k2 |
| 5k2+4 |
∴y0=k(x0-5)=k(
| 25k2 |
| 5k2+4 |
| -20k |
| 5k2+4 |
又|BP|=|BQ|，∴BR⊥l，∴k•kBR=-1，
∴k•kBR=k•
| ||
1-
|
| 20k2 |
| 4-20k2 |
整理，得20k2=20k2-4，
∵20k2=20k2-4不可能成立，
∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．…（7分）
（3）证明：由题意有S(x1，-y1)，
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
则有方程组
|
由（1）得x1=t（x2-5）+5，（5）
将（2），（5）代入（3），得4[t(x2-5)+5]2+5t2
| y | 2 2 |
整理并将（4）代入得(t2-1)+2(1-t)tx2+5(1-t)2=0，
由题意知t＞1，解得x2 =
| 3t-2 |
| t |
∵B（1，0），S（x1，y1），
∴
| SB |
| BQ |
∴
| SB |
| BQ |
=（1-x1-t（x2-1），y1-ty2）
=（1-t（x2-5）-5-t（x2-1），0）
=（-4-t（2x2-6），0）
=（-4-t（
| 6t-4 |
| t |
=（0，0）．
∴
| SB |
| BQ |
点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线不存在的证明，考查向量相等的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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