Question

11．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且$\frac{DG}{GH}$=$\frac{BR}{RH}$．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，
（I）求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P-DEF的内切球的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．
（Ⅱ）设三棱锥P-DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}（{S}_{△PEF}+2{S}_{△DPF}+{S}_{△DEF}）•r$，能求出棱锥P-DEF的内切球的半径．

解答 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，
∴在三棱锥P-DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，
∴PD⊥平面PEF，
∵$\frac{DG}{GH}$=$\frac{BR}{RH}$，即$\frac{DG}{GH}=\frac{PR}{RH}$，∴在△PDH中，RG∥PD，
∴GR⊥平面PEF．
解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，
由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PEF=2，S_△PFD=S_△DPE=4，
${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=6，
设三棱锥P-DEF的内切球半径为r，
则三棱锥的体积：
${V}_{P-DEF}=\frac{1}{6}×2×2×4$=$\frac{1}{3}（{S}_{△PEF}+2{S}_{△DPF}+{S}_{△DEF}）•r$，
解得r=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥P-DEF的内切球的半径为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的内切的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．