Question

4．如图，已知PA是圆O的一条的切线，PB是圆经过圆心O的割线，N为PB与圆O的另一交点．
（1）过点A作PB的垂线AC，交PB于点M，交圆O于点C，连接BC，过点M作AB的平行线分别交BC于D，交PA于E，求证：DM=DB；
（2）若圆O的半径为3，NM=$\frac{1}{2}$MB，求PN．

Answer 1

分析 （1）运用两直线平行的性质定理和圆的垂径定理，结合等腰三角形的性质，即可得证；
（2）连接AO，由圆的切线的性质和直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，解方程可得所求．

解答 解：（1）证明：∵ED∥AB，∴∠PME=∠PBA，
∵割线经过圆心O，PB⊥AC，∴∠PBC=∠PBA，
∴∠PME=∠PBC，
又∵∠PME=∠BMD，∴∠BMD=∠MBD，
∴在△BMD中，DM=DB．
（2）连接AO，则OA⊥PA．
∵$NM=\frac{1}{2}MB$，∴MB+NM=3NM=6，∴NM=2，MO=1．
在Rt△BAN中，由（1）知，MA⊥NB，
∴$M{A^2}=MB•MN=4×2=8，MA=2\sqrt{2}$．
不妨设PA=m，PN=n．
则PA²=m²=PN•PB=PN（PN+NB）=n（n+6）=n²+6n①
在Rt△PAM中，PA²=m²=PM²+MA²=（PN+NM）²+8=n²+4n+12②
联立①②得，PN=n=6．

点评 本题考查圆的切线的性质和切割线定理，以及垂径定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．