Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． [kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]k∈Z
• B． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]k∈Z
• C． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z
• D． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]k∈Z

Answer 1

分析 根据f（x）的最小值得直线y=-3与f（x）的图象两个相邻交点的距离等于一个周期，由此求出ω的值和函数f（x）解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，
所以f（x）的最小值为-3，
由y=f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π，
可得函数f（x）的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
所以函数解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
可得-$\frac{2π}{3}$+2kπ＜2x＜$\frac{π}{3}$+2kπ（k∈Z），
即-$\frac{π}{3}$+kπ＜x＜$\frac{π}{6}$+kπ（k∈Z），
所以f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的化简与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．