Question

19．若a、b满足条件$\left\{\begin{array}{l}ax+by-1=0\\（{3a+4b}）x+（{a-5b}）y-（{7a+3b}）=0\end{array}$（a＞0，b＞0），则$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为25．

Answer 1

分析 运用直线系方程可得，（3a+4b）x+（a-5b）y-（7a+3b）=0恒过定点（2，1），代入ax+by-1=0，可得2a+b=1，由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：由（3a+4b）x+（a-5b）y-（7a+3b）=0可得，
a（3x+y-7）+b（4x-5y-3）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7=0}\\{4x-5y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
代入方程ax+by-1=0，可得2a+b=1，
则$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{b}$=（2a+b）（$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=16+1+$\frac{2a}{b}$+$\frac{8b}{a}$≥17+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{8b}{a}}$=17+8=25．
当且仅当$\frac{2a}{b}$=$\frac{8b}{a}$，即a=2b，又2a+b=1，即a=$\frac{2}{5}$，b=$\frac{1}{5}$时，取得等号．
则$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为25．
故答案为：25．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．