Question

7．已知函数f（x）=log_a（1-2x）-log_a（1+2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明．
（3）根据对数函数的性质解不等式即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{{\begin{array}{l}{1+2x＞0}\\{1-2x＞0}\end{array}}\right.⇒-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$，
∴f（x）的定义域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．…（3分）
（2）定义域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，关于原点对称
又∵f（-x）=log_a（1-2x）-log_a（1+2x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数..…（6分）
（3）f（x）＞0⇒log_a（1-2x）-log_a（1+2x）＞0⇒log_a（1-2x）＞log_a（1+2x）．…（7分）
当a＞1时，原不等式等价为：1+2x＜1-2x⇒x＜0．…（9分）
当0＜a＜1时，原不等式等价为：1+2x＞1-2x⇒x＞0．…（11分）
又∵f（x）的定义域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$
∴使f（x）＞0的x的取值范围，当a＞1时为$（{-\frac{1}{2}，0}）$；
当0＜a＜1时为$（{0，\frac{1}{2}}）$；．…（12分）

点评 本题主要考查函数定义域和函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义结合对数函数的性质是解决本题的关键．