题目内容
15．保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，距车管部门测算，车流速度v与车流密度x满足如下关系；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米时，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米时到400辆/千米范围内，车流速度v与车流密度x满足一次函数关系．（1）求车流速度v与车流密度x的函数关系式v（x）；
（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度v（x）×车流密度（x））最大，并求出最大值．
分析 （1）当40≤x≤400时，设函数v（x）=ax+b，根据题意即可确定a，b的值，进而求出v（x）完整的表达式；
（2）先求出各分段的最值，再进行综合比较，得出当x=200时，函数取得最大值．
解答 解：（1）由题意：当40≤x≤400时，设v（x）=ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{400a+b=0}\\{40a+b=90}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=100}\end{array}\right.$，
故函数v（x）的表达式v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{90，0≤x＜40}\\{-\frac{1}{4}x+100，40≤x≤400}\\{0，x＞400}\end{array}\right.$；
（2）设车流量为f（x），则f（x）=x•v（x），
根据（1）得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{90x，0≤x＜40}\\{x（-\frac{1}{4}x+100），40≤x≤400}\\{0，x＞400}\end{array}\right.$，
①当0≤x＜40时，f（x）为增函数，
当x=40时，其最大值为90×40=3600；
②当40≤x≤400时，f（x）=-$\frac{1}{4}$[（x-200）2-40000]，
当x=200时，函数取得最大值为10000；
③当x＞400时，f（x）=0，
综合以上讨论得，当x=200（辆/千米）时，f（x）max=10000（辆/小时）．
点评 本题主要考查了函数解析式的求法，以及分段函数的表示和最值的确定，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．
| A． | 5 | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 3 | D． | $\sqrt{3}$ |
| 零件的个数 x（个） | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 加工的时间 y（小时） | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
回归直线；
（2）试预测加工10个零件需要多少小时？
（注：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=52.5}$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}^2}=54$）
| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |
| A． | ?x∈R，x2+2x+2≥0，真命题 | B． | ?x∈R，x2+2x+2＜0，假命题 | ||
| C． | ?x∉R，x2+2x+2≥0，假命题 | D． | ?x∈R，x2+2x+2≥0，真命题 |