Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明平面PAC⊥平面PBD；
（2）证明PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）推导出DE⊥PC，BC⊥DC，BC⊥PD，从而DE⊥平面PBC由此能证明PB⊥平面EFD．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵侧棱PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD．
又∵AC?平面PAC，
∴由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD…（4分）
（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中点，知DE⊥PC．
由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，
由侧棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知BC⊥PD，
又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD．而DE?平面PCD，所以DE⊥BC．
由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC．
又PB?平面PBC，故DE⊥PB．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．…（10分）

点评 本题考查面面垂直、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．