Question

2．若椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的弦被点（4，2）平分，求这条弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 判断弦所在直线与椭圆相交，设弦的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入椭圆方程，相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，可得斜率，再由点斜式方程即可得到所求．

解答 解：把（4，2）代入椭圆方程，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$＜1，
即有弦所在直线与椭圆相交，
设弦的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，
由题意可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
可得弦所在直线的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
则弦所在直线的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即有x+2y-8=0．

点评 本题考查直线的方程的求法，注意运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．