Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+2
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n+1）（a_n+1），求{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （I）化简可得{a_n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，从而求得a_n=2•3^n-1-1；
（Ⅱ）化简b_n=（2n+1）2•3^n-1，从而利用错位相减法求其前n项和即可．

解答 解：（I）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
故a_n+1=2•3^n-1，
故a_n=2•3^n-1-1；
（Ⅱ）b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）2•3^n-1，
故T_n=2×3×1+2×5×3+2×7×3²+…+（2n+1）2×3^n-1，
3T_n=2×3×3+2×5×3²+2×7×3³+…+（2n+1）2×3ⁿ，
两式作差可得，
2T_n=-6-2×2×3-2×2×3²-2×2×3³-…-2×2×3^n-1+（2n+1）×2×3ⁿ，
故T_n=-3-2×3-2×3²-2×3³-…-2×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ
=-3-2$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$+（2n+1）×3ⁿ
=2n3ⁿ．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及构造法的应用，同时考查了错位相减法的应用．