Question

对任意的x＞0，总有 f（x）=a-x-|lgx|≤0，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．

解答： 解：由 f（x）=a-x-|lgx|≤0，得
a≤x+|lgx|．
当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；
当0＜x＜1时，化为a≤x-lgx，
令g（x）=x-lgx，则g′(x)=1-

1

xln10

，
由1-

1

xln10

=0，得x=lge．
当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，
当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，
∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge-lglge．
综上，a的取值范围是（-∞，lge-lglge]．
故答案为：（-∞，lge-lglge]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．