Question

4．已知圆x²+y²=4与圆x²+（y-8）²=4．
（1）若两圆在直线y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的两侧，求实数b的取值范围；
（2）求经过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若两圆在直线y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的两侧，则保证圆心在直线的两侧，且直线和圆相切或相离，
（2）设出直线方程，利用直线和圆相离建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）如图所示，结合图形可知O（0，0）必在直线y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的下方，（0，8）在其上方
所以有$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{\sqrt{5}}{2}×0+b}\\{8＞\frac{\sqrt{5}}{2}×0+b}\end{array}\right.$所以0＜b＜8．
又依题意，直线y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b与两圆相切或相离，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|b|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}≥2}\\{\frac{|b-8|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}≥2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{|b|≥3}\\{|b-8|≥3}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{b≥3或b≤-3}\\{b≥11或b≤5}\end{array}\right.$，
所以3≤b≤5或b≥11．
又结合0＜b＜8，
可得b的取值范围是3≤b≤5．
（2）设所求的直线方程为y=kx+5，
因为它与两圆无公共点即与两圆相离，
所以必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞2}\\{\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}＜\frac{21}{4}}\\{{k}^{2}＜\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
所以-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系及两圆的位置关系，首先两圆要相离或外切才能在直线的两侧，直线和两圆也要相离或相切．利用数形结合是解决本题的关键．