Question

如图，设A为y轴上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，△AF₁F₂为正三角形且AF₁中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件，推导出|BF₁|=c，|BF₂|=

3

c，由椭圆定义知：|BF₁|+|BF₂|=2a，由此有求出结果．

解答： 解：∵F₁，F₂是椭圆的两个焦点，
△AF₁F₂为正三角形且AF₁中点B恰好在椭圆上，
∴|BF₁|=

1

2

|F₁F₂|=c，且∠F1BF2 =90°，
∴|BF₂|=

(2c)2-c2

=

3

c，
由椭圆定义知：|BF₁|+|BF₂|=2a，
即c+

3

c=2a，
∴c=

2

3 +1

a=（

3

-1）a，
∴e=

c

a

=

3

-1．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．