Question

已知函数f（x）=

1

x2

-

a

x

（x≠0，a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x2

-

a

x

，
∴f（-x）=

1

x2

+

a

x

，
若a=0，则f（-x）=f（x）此时函数f（x）为偶函数，
若a≠0，f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=2a≠0，
即f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），
此时函数f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂≤1，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-

1

x22

-(

a

x1

-

a

x2

)
=(

1

x1

-

1

x2

)(

1

x1

+

1

x2

-a)=

x2-x1

x1x2

•(

1

x1

+

1

x2

-a)，
要使函数f（x）在（0，1]上为减函数，
则f（x₁）-f（x₂）＞0．
∵x₂-x₁＞0，
∴

1

x1

+

1

x2

-a＞0，即a＜

1

x1

+

1

x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴

1

x1

+

1

x2

＞2，
即a≤2，
即a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断依据函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．第二问也可以使用导数进行求解．